En berömd snöflinga

I figuren finns överst en rak linje. Tar man bort den mellersta tredjedelen och ersätter den med två likadana tredjedelar, som ställs i en spets mot varandra, får man figuren under. Om strecket överst har längden ett (= 3/3), så har kurvan under längden 4/3.

Upprepa proceduren på vart och ett av de fyra segmenten, så får du den tredje kurvan. Upprepa igen och igen. För varje iteration blir kurvan krokigare och mer komplicerad. Dessutom 4/3 gånger så lång som den ovanför. Den ser också ut som en del av en snöflinga:

Den brukar kallas von Kochs snöflinga eller Kochs kurva efter den svenske matematikern Helge von Koch (1870–1924), som först beskrev den i en uppsats med titeln ”Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire”, publicerad år 1904 i Arkiv för matematik, astronomi och fysik.

Det är alltså en kurva som vem som helst kan roa sig med att rita och göra alltmer komplicerad (une construction géométrique élémentaire). Vad von Koch ville visa var dock ”une courbe continue sans tangente”, alltså en kontinuerlig kurva utan tangent (”oändligt krokig”). Går man längs en ”vanlig” kurva, rör man sig ju alltid i en bestämd riktning, som förstås kan ändras, gradvis eller plötsligt. Men vad händer om vi fortsätter att ta bort den mellersta tredjedelen av varje rak sida i den här kurvan i all oändlighet?

Snöflingans area ändras som synes inte särskilt mycket från en iteration till nästa och får alltid rum inom en ursprunglig cirkel.

Längden däremot blir för varje upprepning 4/3 gånger längre. Om längden av den raka linjen högst upp är en meter, blir längden av de följande kurvorna 4/3, 4/3 i kvadrat, 4/3 i kubik osv. Den elfte iterationen får alltså längden 4/3 upphöjt till 10 , vilket är ungefär 17,8 meter. Den tjugonde kurvan blir 315 meter lång, den 40:e blir nästan tio mil lång och den 80:e nästan en miljon mil lång. Kurvan får alltså rum på väggen i din lägenhet men den är en miljon mil lång.

Säger den möjligen något om våra liv? Du befinner dig någonstans på den där kurvan och har målet inom armlängds avstånd. Men ska du följa vägen som något ljushuvud stakat ut åt dig, så ligger ditt mål på miljoner mils avstånd. (Det är givetvis Hans Alfredssons pastor Janssons popteologi som gett mig inspiration. Ni minns ”… livet är som en sug, det suger och drar ….. det kan vara som ett drag också ….”).

Den ”färdiga” snöflingan kan vi förstås aldrig rita och kanske heller inte föreställa oss. Du kan överhuvud taget inte ta dig fram på den, eftersom det inte finns någon riktning att följa, trots att kurvan fortsätter utan avbrott (une courbe continue sans tangente).

På 1970-talet fick sådana kurvor ett namn: Fraktaler. De populariserades av främst Benoît Mandelbrot, född i Polen 1924, utbildad i Paris, och död i USA 2010.  

En annan fraktal, som är enkel att konstruera är triangeln, som gradvis blir alltmer ihålig.

Rita den på ett (svart!) papper. Klipp ut den mellersta biten och fortsätt som i figuren. Figurens area närmar sig noll, samtidigt som summan av de allt fler och allt mindre trianglarnas omkrets går mot oändligheten. Fraktaler kräver en ny definition av dimension. En linje har ju dimensionen ett och en yta är tvådimensionell. Men om ytan alltmer försvinner, så borde dimensionen bli mindre än 2.

Trianglarna ovan blir 3 ggr så många i varje iteration medan varje triangels omkrets blir hälften så stor. Därför är dimensionen på ”slutprodukten”, d v s fraktalen, log3/log2 = 1,5849625….

Linjen i Kochs snöflinga börjar som en endimensionell figur, men när den blir allt krokigare, så blir dimensionen större än ett: Vi får 4 ggr så många raka streck för varje iteration, medan varje streck blir tredjedelen så lång. Dimensionen blir log4/log3 = 1,2618595…

Fraktaler påstås beskriva verkligheten bättre än våra gamla cirklar och rektanglar.

Hur lång är kuststräckan mellan Kapellskär och Östhammar? Tio mil med båt ser det ut som på kartan. Men antag att du måste paddla kanot och aldrig får vara längre från land än en meter. Då blir ”kusten” mycket längre än tio mil. Antag sedan att du är en myra som inte får avvika mer än en centimeter från strandlinjen… Ni förstår idén. Ett annat exempel kunde vara en bergkedjas siluett mot horisonten.