Fransysk visit hos den talträngde tänkaren i Toulouse

Pierre de Fermat

Långt in på 1900-talet fanns det gott om folk som med passare och linjal i högsta hugg ägnade nästan all sin lediga tid åt matematiska problem. De arbetade utan tvång och utan varje tanke på ekonomisk vinning. Faktum är att verkliga entusiaster kunde kämpa dygnet runt med cirkelns kvadratur och med vinkelns tredelning, låt vara att mödorna sällan eller aldrig bar frukt.

De mer försiktiga generalerna, sådana som föredrog papper och penna, försökte i stället att kartlägga talens egenskaper. I staber, mässar och logement ställde man frågan varför kvoten blir så besynnerlig som 8,0000000729…, när 987 654 321 divideras med 123 456 789 – samtidigt som 98 765 432 genom 12 345 679 går jämnt upp och bli exakt lika med 8.

I dag är vi anmärkningsvärt få som grubblar över den sortens intrikata spörsmål.

Tidernas främste lekmannamatematiker gjorde sin världsliga entré för precis 417 år sedan och bodde så gott som hela sitt vuxna liv i sydfranska Toulouse. Han skrev sig Pierre de Fermat (1601–1665) och har gått till matematikhistorien som ’amatörernas furste’. Men den hederstiteln bör tas med en nypa salt: Fermat var en glad amatör endast i den meningen att han inte försörjde sig som matematiker på yrkesbasis. I stället tjänade han ihop till sitt dagliga bröd som jurist (f ö vid en tid då kardinal Richelieu höll i statstömmarna), och han tillhörde det sociala toppskiktet.

På dagarna höll Fermat räfst och rättarting å sitt ämbetes vägnar, men kvällarna och nätterna ägnade han åt livets väsentligheter. Bland annat komponerade han utsökta verser på både latin, spanska och på franska. Men i det hela vigde han sitt enda liv åt matematik och lämnade mycket väsentliga bidrag till eftervärlden inom den analytiska geometrin, infinitesimalkalkylen och sannolikhetsteorin. Jag törs nog påstå att ingen annan 1600-talsmatematiker gör honom rangen stridig. Landsmännen Pascal och Descartes får nöja sig med andrafiolerna.

Men det var ändå inom talteorin som lejonkungen Fermat visade upp alla sina klor. Hans ”stora sats”, känd även som hans ”sista”, behöver jag lyckligtvis inte orda om; det har så många andra gjort under de gångna tre decennierna (också på denna blogg).

Däremot kan jag avslöja att Fermat var den förste som upptäckte, och sedan bevisade, den helt unika kvalitet som vi förbinder med talet 26 – den egenskapen, nämligen, att just 26:an råkar vara det enda heltalet i vårt nuvarande planetariska system som på ömse sidor omgärdas av en kvadrat och en kub, rättare sagt av ett kvadrattal och ett kubiskt tal: 25 är som bekant lika med 5×5, alltmedan 27 är lika med 3x3x3.

De arma primtalen fick aldrig en blund i ögonen under Fermats nattliga excesser, och jag betvivlar att han ens fick det själv.

Den rastlöse domherren i Toulouse kan ses som världshistoriens första auktoriserade primtalsexpert. Med primtal menar vi tal som är jämnt delbara enbart med talet 1 och med sig själva, således tal som 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 etc. Redan 300 år före Kristus visade Euklides att deras antal är oändligt.

Sedan Hedenhös vet vi att alla primtal lever sina liv antingen på formen 4n–1 eller på formen 4n+1, där n är ett heltal. Fermat observerade att resenärerna i det senare teamet undantagslöst kan skrivas som en summa av två kvadrattal på ett och endast ett sätt, medan inget enda tal i 4n–1-gruppen går att skriva på det viset. Det låter för egendomligt för att vara sant, men det ÄR icke desto mindre sant. Till exempel är primtalet 29 lika med 4×7+1 och tillhör följaktligen den privilegierade gruppen, men 29 är även lika med 2×2+5×5, som är summan av två kvadratiska tal. Analogt är det avsevärt högre primtalet 1021 lika med 4×255+1 men också lika med 11×11+30×30.

Fermat bevisade denna primtalstes, men som oftast hemlighöll han tillvägagångssättet. Långt senare restaurerades beviset av 1700-talets störste matematiker – schweizaren Leonard Euler – som släpade och slet i sju års tid med Fermats 4n–1- och 4n+1-grupper.

En gång tillfrågades Fermat, inhämtar man i Mathematical Recreations and Essays av år 1939, om det tolv-siffriga monstret 100895598169 är ett sammansatt tal eller möjligen ett primtal. Vi har nog alla ställt oss den frågan många gånger. Fermat svarade utan dröjsmål att det givna talet är produkten av 898, 423 och 112303. Det är sannerligen gåtfullt att beskedet kunde levereras så snabbt. Mer normal hade en inkubationstid på flera månader tett sig – i ett tidevarv då såväl miniräknare som datorer var allt annat än påtänkta.

Clément-Samuel, en av Fermats tre söner, kom att fungera som sin fars vetenskaplige testator. Det är tack vare denne sons uppoffrande arbetsinsats, som fader Pierres vanligtvis så kryptiska anteckningar har räddats från evig glömska.

Talet 26 ler försynt och fäller en tacksamhetens tår…

Kommentera

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig hur din kommentardata bearbetas.