Georg Cantor


Matematik är egentligen enkelt. Ta de hela talen till exempel. Låt oss nöja oss med de positiva för att göra det ännu enklare. 1 2 3 4 5 6 osv. Räknar vi till 1000 så vet vi att vi inte missat talet 687, och fortsätter vi så vet vi att förr eller senare stöter vi på talet 756423199. Heltalen är oräkneliga men ändå uppräkneliga. Om vi nu tar de udda talen så är de väl bara hälften så många som de hela talen? Vi hoppar ju över varannat heltal när vi räknar upp dem: 1 3 5 7 9 osv. Men så är det inte. Det finns precis lika många udda tal som heltal. Vi ser det bäst om vi parar ihop dem: 1 1, 2 3, 3 5, 4 7, 5 9, osv. För varje heltal finns ett unikt uddatal.

Nu skulle man kunna tro att det funnes ofantligt många fler bråktal (2/3, 53/37 o s v), än heltal. Bråktalen kallas ”rationella”, och man kan ställa upp dem i en matris så att man vet att man inte missar något. Bråket 61873/4917 t ex, finner du i den 4917:e kolumnen av rad nr 61873:

Så varje bråk kan paras ihop med ett unikt heltal. Det finns alltså inte fler bråk än heltal och även de är uppräkneliga.

Detta reddes ut av Georg Cantor, född 1845 i Sankt Petersburg i kejsardömet Ryssland, död 1918 i kejsardömet(?) Tyskland. Han upptäckte (uppfann?) de transfinita talen. De fick namnet ”alef”… 

efter den första bokstaven i det hebreiska alfabetet. Det minsta av dessa oändligt stora tal, s k kardinaltal, kallade han ”alef-noll”. Det betecknar mängden av alla heltal (eller uddatal eller bråktal…). Sedan följer alef-ett, som är mängden av ”alla” tal, inklusive ”irrationella” tal, d v s de som inte kan uttryckas som bråk, t ex pi eller roten ur två. Alef-ett är ”oändligt” mycket större än alef-noll och är inte bara oändligt utan dessutom en ouppräknelig mängd. Man kunde tro att inget tal kunde vara större än alef-ett, men nästa heter inte oväntat alef-två. Sedan kommer alef-tre och fyra osv i all evighet. Alef-två är mängden av alla delmängder som kan hittas inom en mängd som har alef-ett stycken element.

Cantor grundade alltså mängdläran, som ställde till det för svenska, amerikanska och andra skolbarn på 70-talet. Gud var ju oändlig, och idén att det fanns oändligheter (och gudomligheter?) av olika dignitet upprörde på många håll. Matematikerkollegan Kronecker (1823–1891) menade att Cantor var en renegat och vetenskaplig charlatan samt korrumperade ungdomen. Några tal bortom de finita existerade inte. Inget av de där alef-talen existerade annat än i Cantors sjuka fantasi, hävdades det.

Filosofen Ludwig Wittgenstein (född 1889 i Wien i kejsardömet Österrike-Ungern, död 1951 i Det Förenade Kungariket) klagade långt efter Cantors död på att matematiken var nersmittad av mängdlärans fördärvliga idéer. Han avfärdade mängdläran som ”totalt nonsens”, ”skrattretande” och ”felaktig”. En som däremot stödde Cantor var svensken Gösta Mittag-Leffler, (1846–1927) som såg till att många av Cantors arbeten först publicerades i ”Acta Matematica” där han var redaktör. Själv var Cantor en hängiven lutheran, och han ansåg att det var Gud själv som gett honom kunskap om de transfinita kardinaltalen. Han var inne på hospitalet i några vändor, Cantor alltså, p g a all mobbning han utsattes för. Men det har också föreslagits att han var bipolär.

Minnestavla i St Petersburg. ”I detta hus föddes och bodde … den store matematikern och grundaren av mängdlära Georg Cantor”

Enligt David Hilbert, född 1862 i Königsberg, nu Kaliningrad – död i Göttingen 1943, var mängdläran ett paradis: ”Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.” (Ingen ska få driva ut oss ur det paradis som Cantor har skapat). På vilket Wittgenstein svarade: ”Jag skulle inte drömma om att driva ut någon från detta paradis. … Jag skulle försöka visa att det inte är något paradis – så att ni lämnar det av egen fri vilja.”

Räknereglerna för kardinaltalen är klart enklare än för de vanliga talen, de s k ordinaltalen. Alef-noll plus alef-noll t ex, är lika med alef-noll. Och alef-ett gånger alef-ett är lika med alef-ett. Det sistnämnda kan tolkas som att det finns lika många punkter på en linje med längden ett som i en kvadrat med sidan ett. Efter att ha bevisat detta, skrev Cantor till vännen och matematikern Dedekint: ”Ich sehe es, aber ich glaube es nicht”, Jag ser det, men jag tror det inte. Så det må vara er läsare förlåtet om inte heller ni tror på det.

Föregående artikelUNDER LEDNING AV KINA OCH INDIEN FÖRSÖKER DET GLOBALA SYD REFORMERA FN
Nästa artikelSLUTET FÖR DET AMERIKANSKA ÅRHUNDRADET BÖRJAR I MELLANÖSTERN
Bengt Svensson
Bengt Svensson Blev lärare jobbade sedan i Tanga vid Indiska Oceanen i Tanzanias, då anställd i Sidas ”fredskår”. Sedan USA. Har bott i samma hus i San Francisco i ett kvartssekel och i stan längre än någon annan stans. Arbetat en period i Sunnyvale, ”Silicon Valley”.

5 KOMMENTARER

  1. “Cantor grundade alltså mängdläran, som ställde till det för svenska, amerikanska och andra skolbarn på 70-talet.”

    Jo, jag hade serien med matematikhäften som hette “Hej matematik!” på lågstadiet. Min mormors systers man (“Farfar” kallad, salig i åminnelse) var smed, hovslagarmästare SMHI-väderobservatör och hönsgårdsägare. Han använde matematik och siffror för mätning av trä och järn, för äggförsäljning och väderlek. Han hade kungligt roligt åt nymodigheten “mängdlära”, som vi små luar (bror min och jag) berättade om.

  2. Hur är det då med antalet jämna tal? Är de lika många som de naturliga heltalen (där vartannat tal är jämn)?
    Jo det är de väl, för om vi multiplicerar de hela talen med 2 så blir ju alla produkter (talen) jämna!
    Konstiga saker kan hända när vi sysslar med oändligheten.

  3. I texten hävdas att alef-ett är (antalet element i) mängden av reella tal. Det stämmer inte riktigt. Alef-ett definieras (löst uttryckt) som antalet element i den minsta mängd som är strikt större än de naturliga talen. Att mängden av reella tal har alef-ett element är innebörden av den så kallade kontinuumhypotesen. Denna hypotes har visats vara oavgörbar, det vill säga att den kan varken bevisas eller motbevisas, inom mängdlärans standardaxiomatik.

    På samma sätt är även utsagan att det finns alef-två delmängder av de reella talen oavgörbar.

  4. Erik D!
    Kontinuumhypotesen ”har visats vara oavgörbar, det vill säga att den kan varken bevisas eller motbevisas, inom mängdlärans standardaxiomatik”. En lekman undrar förstås om den är falsk eller sann. Men det får vi aldrig veta, eller? Om den är falsk, d v s mängden av reella tal är större än alef-1 (men mindre än alef-2?), kunde man väl definiera en massa nya kardinaltal.

  5. Bengt Svensson!
    Vad som är sant och inte i matematik beror på det axiomsystem man använder. Ett påstående är ”sant” om det är en logisk slutsats av axiomen, och ”falskt” om dess negation följer av axiomen. Utanför ett axiomsystem är det inte meningsfullt att tala om sanning.

    Kontinuumhypotesen är inte en logisk slutsats av axiomen för mängdläran, och dess negation är inte heller det. Med andra ord kommer man aldrig att kunna bevisa eller motbevisa den inom detta system. Man skulle förstås kunna välja att arbeta inom ett starkare axiomsystem, som innefattar kontinuumhypotesen (eller dess negation), och inom detta system skulle då hypotesen vara ”sann” (eller ”falsk”).

Välkommen, du är nu inloggad! Håll god ton. Inga personangrepp!

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig hur din kommentardata bearbetas.