Nu återvänder vi till de vanliga talen.
Det finns en massa tal som inte kan uttryckas som bråk. De är ”irrationella”. Många är ”algebraiska” som roten ur två, men de flesta är ”transcendenta” som pi, sinus för 29 grader, logaritmer mm. Sammantaget utgör dessa mängden av ”reella” tal, och de är inte bara oräkneliga utan också ouppräkneliga. Men de kan alla skrivas som decimaltal med oändligt många decimaler. (Pi=3,14159265359… ; sin 29 grader = 0,48480962… ; tiologaritmen för 3 som är log 3 = 0,47712125… osv). Men vad händer om man tar bort alla tal som innehåller siffran sju? Tal som 157 och 0,011172 försvinner alltså liksom log 3 och pi vars trettonde decimal är en sjua. För att göra det mer hanterligt kan vi börja med talen mellan 0 och 1:
Rita en tallinje från 0 till 1.
0______________________________________________1
I princip kan man pricka in alla reella tal större än 0 och mindre än 1 på den. Någonstans finns 0,1; 0,7; 0,83 men också pi/4, sinus för 77 grader o s v. Stryk nu ut alla sektioner som innehåller tal med siffran 7 bland sina decimaler. Biten mellan 0,7 och 0,8 stryker ni alltså ut. No big deal, nästan allt, närmare bestämt 9/10, återstår ju av linjen. Men då glömde vi de nio sektionerna 0,07 till 0,08, 0,17 till 0,18, 0,27 till 0,28 …. 0,97 till 0,98. Lite petigt att sudda ut dem, men med lite god vilja går det. Men sedan har vi förstås de 81 sektionerna 0,007 – 0,008, 0,017 – 0,018, … 0,097-0,098, … 0,107-0,108, … 0.207-0,208 … 0,307-0,308 … 0,907-0,908, … 0,997-0,998. Nu börjar det bli plottrigt.
Hur stor del av tallinjen är det då som försvinner, när vi tar bort alla segment som innehåller siffran 7? Låt oss lägga ihop dem.
Först 1/10 sedan 9 gånger 1/100 sedan 81 gånger 1/1000, och så vidare.
Så här ser det ut: 1/10 x (1 + 9/10 + 9/10 i kvadrat + 9/10 i kubik + 9/10 upphöjt till 4 osv).
Inom parentesen får vi en s k konvergent, geometrisk serie som säkert en och annan minns från gymnasiet. Dess summa är 10, och 1/10 gånger 10 är ett, vilket är precis hela längden av tallinjen mellan 0 och 1.
Lägger vi ihop alla segment av tallinjen, som innehåller siffran 7 blir alltså summan lika lång som det hela, och tar vi bort dem blir alltså ”ingenting” kvar. Detta ingenting kallas för en nollmängd (eller null set som de säger i Hollywood). Och denna nollmängd innehåller ett oändligt antal tal med den gemensamma egenskapen att de inte innehåller siffran 7, t ex 0,8; 0,33334; 0,666666668; 2/3; 4/5; 5/8 o s v. Men ändå, om vi tar bort alla dessa tal så märks det liksom inte. Det beror på att varje tal, eller ska vi säga ”element”, i nollmängden står ”ensamt”. Sträcker det ut handen s a s, så stöter det alltid på en av ”sjuorna”, som i sin tur alltid är omgivna av sina likar. Ta 0,673. Alla mellan 0,670 och 0,67999999… tillhör ju sjuornas gäng.
Samma övning kan genomföras för sträckan 1 till 2, sedan 2 till 3 o s v, d v s hela tallinjen. Tänk på tallinjen som ett enormt långt och smalt gammalt brädgolv, där spikarna i golvet motsvarar elementen i nollmängden. Drar man ut spikarna så ligger golvet ändå kvar (om ni nu kan föreställa er ett golv med oändligt många spikar i).
Detta tål att tänkas på, eftersom jag inte begriper det. För bortom de mest banala tillämpningarna i barnens räkneböcker blir mängdbegreppet snabbt väldigt abstrakt.
